Video The Count Sesame Street Menghitung Phi 10.000 Digits

Count von Count adalah karakter boneka di Sesame Street yang terinspirasi dari karakter Count Dracula. Sesuai namanya, Count von Count hobi menghitung segala hal. Bahkan Count von Count pernah mencegah Kermit the Frog keluar dari lift yang mereka tumpangi karena ia ingin menghitung jumlah semua lantai di gedung. Count von Count adalah pahlawan matematika bagi anak-anak yang akan mengajarkan mereka cara berhitung dengan menyenangkan.

Dalam video berdurasi 5,5 jam ini, Count von Count membacakan pi (π) hingga 10.000 digit. Lengkap dengan tawa khasnya setelah setiap digit, ah ah ah.

Sumber: cnet

Catatan Matematika Jihad

Tulisan ini hanya catatan kecil tentang temuan saya tentang matematika dan anak saya, Jihad. Jihad adalah anak kedua saya. Saat ini umurnya 7 tahun 4 bulan. Mungkin ini semacam dokumentasi saja, mumpung saya ingat dan berkesempatan menuliskan hal menarik yang saya temui dari Jihad hari ini.

Jihad Math 1

Jihad menemukan buku matematika bekas abangnya dulu waktu di kelas 2. Tanpa diminta dia mengerjakan beberapa soal terkait operasi penjumlahan, kemudian memberikannya ke ibu untuk diperiksa.

Menurut saya apa yang dikerjakannya menarik. Bukan karena dia mengerjakan dengan cepat dan benar tanpa bantuan alat hitung ataupun kotretan, tapi karena coretan yang saya temukan di soal yang dia kerjakan itu. Berikut yang saya maksud:

2

Di soal nomor 5, 8, dan 9, ada bilangan yang dia coret kemudian di atasnya dia tuliskan sebuah bilangan lain. Ketika saya tanya, jawabannya memang seperti apa yang saya duga. Saya tanya tentang soal nomor 5, “kenapa angka 43 dicoret, terus angka yang di atasnya itu apa?” Dia menerangkannya kurang lebih seperti ilustrasi berikut.

3

Soal no 5 di atas dia hitung dengan cara menjumlahkan 110 + 130 + 42. Itu menurutnya jauh lebih mudah ketimbang harus menghitung sebagaimana urutan soal di atas.

Ternyata itu adalah teknik yang dia gunakan agar dia dapat menghitung bilangan-bilangan itu dengan mudah, sebab dia tidak membuat kotretan ataupun catatan di tempat lain. Dia hanya sesekali terlihat merenung dan terdiam, kemudian selesailah soal-soal itu dia jawab.

Untuk soal nomor 9 dia melakukan hal yang sama seperti ini:

4

Cara yang sama dia lakukan untuk menjawab soal nomor 9 di atas. dia menghitungnya dengan urutan 140 + 100 + 26.

Yang lebih menarik adalah cara dia mengerjakan soal nomor 8 ini,

5

Untuk menghitung soal nomor 8 di atas, dia memodifikasi penjumlahannya menjadi: 165 + 105 + 25 dan bentuk penjumlahan itu hasilnya sama dengan soal nomor 8 di atas.

Saya belum pernah mengajarkan teknik semacam itu, dan sepertinya gurunya di sekolahpun tidak, dia temukan sendiri tekniknya sehingga menurutnya jauh lebih mudah. Saya pikir ini cara cerdas yang dia temukan sendiri dari pengamatannya.

“Kan Bang Jihad punya ide bu!” ^_^.

Seperti yang saya bilang, ini hanyalah catatan dan dokumentasi pribadi. Mungkin tidak istimewa buat yang lain. Tapi semoga menginspirasi ^_^.

*Catatan:
Jihad terkadang masih suka menulis beberapa angka terbalik, seperti angka 2 di soal nomor 5 di atas.

Apakah Nol (0) itu Genap, Ganjil, atau Bukan Keduanya?

Apakah Nol (0) itu genap, ganjil, atau bukan keduanya? Ini adalah pertanyaan menarik. Jawaban yang benar adalah ya, nol merupakan bilangan genap. Continue reading

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12

Ternyata, hasil perhitungan menyatakan bahwa jumlah semua bilangan asli (bilangan bulat positif) adalah \displaystyle -\frac{1}{12}.

\displaystyle 1+2+3+4+5+\cdots =-\frac{1}{12} \displaystyle \sum\limits_{i=1}^{\infty }{n}=-\frac{1}{12}

Pembuktian

Untuk membuktikan ini, secara bertahap kita akan menghitung tiga buah deret tak hingga.

Pertama adalah jumlah dari \displaystyle 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1+\cdots . Kita sebut ini \displaystyle {{S}_{1}}.

\displaystyle {{S}_{1}}=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1+\cdots

Kedua adalah jumlah dari deret tak hingga \displaystyle 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+\cdots . Kita sebut ini \displaystyle {{S}_{2}}

\displaystyle {{S}_{2}}=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+\cdots

Ketiga, barulah kita bisa menghitung jumlah bilangan asli positif yang kita cari, \displaystyle 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\cdots . Kita sebut sebagai \displaystyle {{S}_{3}}.

\displaystyle {{S}_{3}}=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\cdots

Menghitung Jumlah Deret Pertama

Untuk deret pertama ini, kita sudah membahasnya panjang lebar di artikel Deret Grandi. Hasilnya adalah \displaystyle \frac{1}{2}.

\displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}

Menghitung Jumlah Deret Kedua

Untuk deret kedua, kita mulai dengan mengalikannya dengan dua.

\displaystyle 2{{S}_{2}}={{S}_{2}}+{{S}_{2}}

Jika kita jabarkan, akan seperti berikut:

\displaystyle 2{{S}_{2}}=\left( 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+\cdots \right)+\left( 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+\cdots \right)

Namun, untuk memudahkan perhitungan kita simpan kedua deret ini dengan cara yang unik. Yaitu, dengan menggeser posisinya.

Jumlah kedua deret.

Jumlah kedua deret.

\displaystyle 2{{S}_{2}}=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1+\cdots

Nilai ini sudah kita ketahui sebagai jumlah dari \displaystyle {{S}_{1}}.

\displaystyle 2{{S}_{2}}={{S}_{1}}=\frac{1}{2}

Memberikan hasil sebagai berikut:

\displaystyle \begin{array}{l}2{{S}_{2}}={{S}_{1}}=\frac{1}{2}\\{{S}_{2}}=\frac{1}{4}\end{array}

Menghitung Jumlah Deret Ketiga, Deret Bilangan Asli Positif

Terakhir, kita bisa menghitung jumlah bilangan asli dengan menggabungkan deret kedua dan ketiga.

\displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{2}}=\left( 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\cdots \right)-\left( 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+\cdots \right)

Untuk mempermudah perhitungan, kita simpan keduanya dalam dua barisan terpisah dan menghitung setiap suku yang bersesuaian.

Jumlah dua deret kedua.

Jumlah dua deret kedua.

\displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{2}}=4+8+12+16+20+\cdots

Kita faktorkan angka 4 ke luar persamaan.

\displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{2}}=4\left( 1+2+3+4+5+\cdots \right)

Menghasilkan deret \displaystyle {{S}_{3}} di dalam persamaan.

\displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{2}}=4{{S}_{3}}

Dengan perhitungan sederhana, akhirnya menghasilkan nilai \displaystyle -\frac{1}{12}.

\displaystyle \begin{array}{l}-3{{S}_{3}}={{S}_{2}}\\-3{{S}_{3}}=\frac{1}{4}\\{{S}_{3}}=-\frac{1}{12}\\\Rightarrow 1+2+3+4+5+\cdots =-\frac{1}{12}\end{array}

Referensi:

http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/

1+2+4+8+16+32+…=-1

Ya, judul artikel ini tidak salah.

\displaystyle 1+2+4+8+16+32+\cdots =-1

Pembuktian

Perhitungan dilakukan dengan memisalkan deret tersebut sebagai s lalu menghitungnya kembali.

\displaystyle \begin{array}{l}1+2+4+8+16+32+\cdots =s\\1+2\left( 1+2+4+8+16+32+\cdots \right)=s\\1+2s=s\\1+s=0\\s=-1\\\Rightarrow 1+2+4+8+16+32+\cdots =-1\end{array}

Anda bisa melihat bahwa deret itu muncul berulang di dalam perhitungan, mengakibatkan muncul dua s. Bagaimana jika kita ganti deret selanjutnya dengan s? Ternyata hasil perhitungannya tetap sama, menghasilkan -1.

\displaystyle \begin{array}{l}1+2\left( 1+2+4+8+16+32+\cdots \right)=s\\1+2\left( 1+2\left[ 1+2+4+8+16+32+\cdots \right] \right)=s\\1+2\left( 1+2s \right)=s\\1+2+4s=s\\3+3s=0\\s=-1\\\Rightarrow 1+2+4+8+16+32+\cdots =-1\end{array}

Kontradiksi?

Bukankah seharusnya jumlahnya akan terus membesar hingga positif tak hingga (infinity)?

\displaystyle \begin{array}{l}1+2=3\\1+2+4=7\\1+2+4+8=15\\1+2+4+8+16=31\\1+2+4+8+16+32=62\\1+2+4+8+16+32+\cdots =+\infty \end{array}

Entahlah.