Aritmatika Segitiga Pascal

Ketika googling hendak mencari-cari informasi mengenai segitiga pascal, saya menemukan sebuah makalah dengan judul “Mengenal Jejak Matematika”, yang ditulis oleh Leo Sutrisno. Di dalamnya berisi tentang biografi singkat beberapa ilmuwan matematika, termasuk diantaranya Blaise Pascal.

Ada hal menarik yang ditulis dalam artikel itu, mengenai analisa kandungan aritmetika dalam segitiga pascal. Terus terang, saya tidak mengetahui komposisi cantik semacam itu sebelumnya.

Pada abad ke-17, Perancis ‘sangat beruntung’ karena mempunyai seorang matematikawan yang jenius, yaitu Blaise Pascal. Ia dilahirkan pada tahun 1623 di provinsi Auvergne. Pada usia kanak-kanak, 12 tahun, ia telah menemukan rumus-rumus dasar geometri yang hingga kini masih kita pelajari. Pada usia 14 tahun ia aktif mengikuti pertemuan mingguan kelompok matematikawan Perancis yang kelak kemudian, 1666, menjadi Akademi Perancis.

Pada usia 16 tahun ia telah mendalami geometri proyeksi. Dan, pada usia 25 tahun menulis buku tentang irisan kerucut yang sangat lengkap. Anehnya, beberapa temuan itu diawali dengan sakit gigi. Namun, serta merta solusi-solusi ditemukannya sakit gigi-nya lenyap. Ia meninggal pada usia 39 tahun (1662) dan dimakamkan di dekat ayahnya, Étienne Pascal yang juga matematikawan.

Tulisannya tentang irisan kerucut kelak kemudian dipelajari oleh matematikawan terkenal Descartes dan Lyibniz. Descartes pernah menunjukkan keheranannya bahwa gagasan itu berasal dari seorang ABG. Bahkan, ia menduga bahwa gagasan itu ditulis oleh ayah Blaise Pascal.

Aritmetika segitiga pascal

Pada usia 30 tahun ia menyusun aritmatika segitiga yang masih kita kenal kingga kini. Ia menyususun deretan bilangan seperti disajikan pada Gambar 1. Kecuali bilangan-bilangan yang berada pada baris paling atas dan kolom paling kiri, setiap bilangan itu merupakan jumlah dari bilangan-bilangan yang terdapat pada kolom di sebelah kirinya yang terdekat dan yang berada di sebelah atas dari bilangan itu. Misal 20 = 10 + 6 + 3 + 1. 21 = 15 + 5 + 1 atau 21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Anda tentu dapat bermain-main dengan segitiga pascal ini. Perhatikan sembarang bilangan yang tidak terletak pada baris atau kolom pertama. Setiap bilangan yang ada dalam segitiga pascal merupakan jumlah dari dua bilangan yang berada tepat di sebelah kiri dan yang tepat di atasnya.

pascal triangle

Contoh:

  • 2 = 1 (kiri) + 1 (atas)
  • 5 = 1 (kiri) + 4 (atas) atau
  • 5 = 4 (kiri) + 1 (atas)
  • 126 = 70 (kiri) + 56 (atas) atau 126 = 56 (kiri) + 70 (atas)
    Sifat seperti itu, Anda kenal dengan istilah sifat komutatif pada penjumlahan bukan.

Mari kita lihat bilangan-bilangan yang berderet pada arah diagonal. Kita mulai dari pojok kiri atas. Di situ berderet “1 – 2 – 1″. Anda yang telah mempelajari bentuk (a +  b)^2 atau (a - b)^2 tentu tahu tahu bahwa (a +  b)^2  = a^2  + 2ab + b^2   dan $ latex(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 $
Nah, koefisien dari  a^2 adalah 1, koefisien dari ab adalah 2 dan koefisien dari b^2 adalah 1. Jadi, deretan 1 -2 – 1 merupakan koefisien dari bentuk (a + b)^2 atau (a - b)^2
Sementara dengan deret “1 – 3 – 3 – 1,” ini merupakan koefisien dari (a + b)^3 atau (a - b)^3 .

Bagaimana dengan deretan yang lain?

Ya, itu merupakan koefisien bentuk (a+ b)^n

Selain pola-pola cantik di atas, ada pola-pola aritmetika cantik lainnya dengan bilangan-bilangan pada segitiga pascal. Anda bisa mencoba menemukannya sendiri. Semuanya telah ditemukan Pascal pada usia 30 tahun yang hidup sekitar 400 tahun yang lalu.

Blaise Pascal tidak berumur panjang. Ia meninggal pada usia 39 tahun. Masa hidupnya juga tidak secemerlang dengan temuan-temuannya. Pada usia akhir dua puluhan (tahun 1650) ia merasa hidup dengan matematika kurang tenteram. Maka ia menarik diri dari kehidupan sebagai matematikawan dan fisikawan ke kehidupan kontemplatif.

Tetapi, setelah tiga tahun kemudian ia kembali ke kehidupan matematika lagi dengan menggarap aritmatika segitiga, melakukan percobaan tentang tekanan fluida, serta melakukan korespodensi dengan Fermat untuk meletakkan dasar-dasar teori probabilitas.

Pada tahun 1654 Ia mengaku menerima teguran Tuhan, bahwa kehidupannya sebagai matematikawan tidak menyenangkan Tuhan. Ia kembali ke kehidupan religius kontemplatif yang sungguh-sungguh. Namun, sekali lagi, pada tahun 1958 ia kembali ke kehidupan matematikawan sambil menahan sakit giginya. Ia memandang sakit gigi itu merupakan peringatan Tuhan akan kehidupannya. Karena itu setiap akan bekerja ia berpuasa selama 78 hari lebih dahulu.

Masa empat tahun terakhir dalam hidupnya dipersembahkan untuk menggarap geomatri, terutama kurva sikloida. Ia juga mempersembahkan satu model matematika bagi almarhum ayahnya yang limaçon of Pascal-suatu spiral lingkaran yang melalui suatu titik yang tetap. Blaise Pascal memang seorang pendoa dan matematikawan cemerlang.

, ,

7 Responses to Aritmatika Segitiga Pascal

  1. Messal December 6, 2010 at 10:00 pm #

    Thanks ya buat infonya…
    hehehe lagi cari bahan buat ngajar adik les…

  2. Ani Ismayani December 6, 2010 at 10:14 pm #

    sama-sama… ^_^

  3. ummah December 8, 2010 at 2:21 pm #

    ada g alat peraga untuk meneragkan pola segitiga pascal ?

  4. taruna May 21, 2011 at 8:12 pm #

    gan,bagi artikelnya ya.janji deh dibuat sumbernya.OK

  5. Ani Ismayani May 23, 2011 at 10:34 am #

    Maksudnya apa pa taruna? kalo copy paste jelas dilarang, dan itu bisa membuat citra blog bapak tidak baik.

    Kalau bapak berniat menulis ulang (maksudnya ide awal dari tulisan ini) tentu itu lebih baik!

    Walau temanya sama, buatlah tulisan yg lebih baik dari ini!

  6. ical September 28, 2011 at 7:58 pm #

    nyari partikel segitiga pascal dman sih ??

  7. putry January 19, 2012 at 6:45 pm #

    thank u..

Leave a Reply

Designed by Desaindigital

%d bloggers like this: