Bilangan Real

Berbagai Sistem Bilangan

Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: , dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

Gambar 1

Pengertian Bilangan Real ()

Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasional

Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural),

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).

Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga .

Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.

Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari .

Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.

Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:

Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu dan memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu dan (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).

Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!

Bilangan-bilangan real

Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.

Pertanyaan

Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?

Operasi pada Bilangan Real

Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

a) Operasi penjumlahan

Contoh:

1. $4 + 6 = 10$

2. $4 + (-6) = -2$

3. $-4 + 6 = 2$

4. $-4 + (-6) = -10$

b) Operasi pengurangan

Contoh:

1. $6 - 4 = 2$

2. $6 - (-4) = 6 + 4 = 10$

3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $

c) Operasi perkalian

Contoh:

1. $6.4 = 24$

2. $6.(-4) = -24$

3. $(-6)(-4) = 24$

d) Operasi pembagian

Contoh:

Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya

a) Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal

Contoh:

b) Mengubah Pecahan Desimal ke Persen

Contoh:

c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya

Contoh:

Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!

Menghitung persentase

a) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan

Contoh:

Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?

Jawab:

Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000

Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00

b) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikan

Contoh:

Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?

Jawab:

Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00

Jadi, kita harus membayar sebesar:

Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00

c) Laba dan rugi

Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Contoh:

Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00

Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

Sifat-sifat Operasi Bilangan Real

Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.

Untuk setiap $a,b,c, r \in$ , beralaku sifat-sifat berikut;

Penjumlahan:

1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

$a+b=r$

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

$a+b=b+a$

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

$(a+b)+c = a+(b+c)$

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

$a+0 = 0+a = a$

6. Sifat invers pada penjumlahan

$a+(-a)=(-a)+a=0$

Perkalian:

1. Sifat tertutup pada perkalian

$a\ times b = r$

2. Sifat komutatif pada perkalian

$a\ times b = b\times a$

3. Sifat asosiatif pada perkalian

$(a\times b) \times c = a\times (b\times c )$

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

$a\times 1 = 1\times a = a$

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk )

(tidak ada/tidak didefinisikan).

Modul ‘Bilangan Real’ yang saya susun berupa file pdf. Anda bisa mengunduhnya di sini.

Catatan:

Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol, karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini

April 3, 2009 30 Comments Short URL bilangan, bilangan real, garis bilangan, sistem bilangan

30 Responses to “Bilangan Real”

ade sanjaya
September 30, 2009 at 11:17 am #

thanks yaaa
artikelnya bagus banget dapat memudahkan saya untuk memahami mata kuliah kalkulus…..

semangat untuk tulis artikel ok,,,

Reply
Ani Ismayani
October 2, 2009 at 9:13 am #

sama-sama…
ini pengetahuan dasar ttg bilangan real.
semangat kuliah ok, biar cepet lulus !

Reply
Putry ecca
October 21, 2009 at 2:25 pm #

Kak aya, bs ksh cnth nya gak msg2 sift bil riil tu pke angka biar kt2 jd mkin phm..

Reply
- Ani Ismayani
  December 1, 2010 at 10:44 am #
  
  itu adalah pola umum.
  kalau mau, coba substitusi setiap variabel yg ada dengan bilangan yg dikehendaki.
  
  Reply
rian
September 1, 2010 at 5:23 pm #

permisi…sy mw tanya,,
pengertian sistem bilangan riil apa?
,contohnya??

-makasih-

Reply
- Ani Ismayani
  December 1, 2010 at 10:35 am #
  
  sepertinya, di atas sudah ada penjelasannya. coba baca lagi dengan seksama ^_^
  
  Reply
tarminto
November 30, 2010 at 4:56 am #

sangat bagus.
dapat memperluas wawasan matematika bagi teman-2 guru.
teria kasih.

Reply
Ani Ismayani
December 1, 2010 at 10:36 am #

terima kasih…
ditunggu juga sharing ilunya dari guru-guru yang lain di sini ^_^

Reply
Auf Klarung
December 12, 2010 at 7:09 pm #

Saya rasa… dari semua yang tertera di atas, khususnya di bagian awal, tak ada satupun bagian yang mengemukakan definisi bilangan real.

Reply
- Ani Ismayani
  December 14, 2010 at 9:23 pm #
  
  Begitu ya ^_^?
  
  Di bagian awal memang tidak ada definisi secara langsung, tapi sepertinya memiliki prolog yang mengarah ke pengertiannya secara umum. Tapi setelah itu ada rumusan definisinya sbb:
  
  Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri.
  
  Ini memang definisi umum utuk level sekolah menengah (SMP) atau mungkin anak SD. Tidak ada tinjauan dari aspek analisis-real nya .
  
  Senang blog saya dikunjungi pak dosen. Ditunggu sharing ilmunya di sini kang ^_^
  
  Reply
agnih
May 3, 2011 at 1:13 am #

terimakasih ya …… pusingku jadi hilang dech…
sekali lagi terimaksih …. ^_^

Reply
Ahmad
July 15, 2011 at 5:42 pm #

trimakasih atas pengetahuan yang diberikan sya jadi bisa lebih tahu apa itu Bilangan Real ^_^

Reply
- Ani Ismayani
  July 17, 2011 at 8:02 am #
  
  sama-sama ^_^
  
  Reply
sunu
August 8, 2011 at 10:17 am #

maaf, ijin copy materi bilangan real nya..
terima kasih.

Reply
- ilham
  June 4, 2013 at 2:59 pm #
  
  mohon maaf,, materi nya ge copy/paste
  
  Reply
  - Ani Ismayani
    June 4, 2013 at 6:32 pm #
    
    Ini memang copy paste dari modul materi “bilangan real” yg saya buat sudah sejak lama. Makanya, ketikannya ga rapih, ga pake LaTex pula.
    Tapi dijamin, masternya ini saya yang ketik kok
    
    Reply
endy
August 22, 2011 at 7:25 pm #

artikelx bagus bget,,, bisa bantu saya untuk menghadapi mata kuliah di kampus……. thaxxxx

Reply
buku kuliah
September 18, 2011 at 12:54 am #

wah,artikelnya bagus sekali,jadi pengen taw posting2 selanjutnya,tetap semangat ya gan..

Reply
Antonio Vico
September 29, 2011 at 8:45 pm #

Thanks ya kakak. aq jd makin semangat belajara di SMP 1 ini. tp kok nilai π nya dii kalkulator cpu nya hasilnya 22/7=3.14285714285714….???

Reply
- Ani Ismayani
  October 1, 2011 at 4:36 pm #
  
  nilai π memang biasa diambil yang mendekati dengan nilai 22/7 yaitu 3,14.
  
  Reply
lhutfi
February 9, 2012 at 9:07 am #

tank’s atas pembahasannya

Reply
dede
February 12, 2012 at 2:43 pm #

wah artikel yang bagus.untuk nilai π sepertinya salah tulis dalam artikel ini (coba lihat lagi dengan seksama ^.^). saya cuma bilang bahwa π dengan 22/7 sama sekali berbeda.perhatikan bahwa 22/7=3.142857142857142857… (rasional) sedangkan π=3.14159265358979323846…(irrasional).apa yang terjadi klo kita mau mengukur volume bola dengan diameter 1000cm menggunakan π = 22/7?bedanya akan jauh sekali klo kita pakai π=3.14159265358979323846? ^.^

Reply
- Ani Ismayani
  February 16, 2012 at 10:00 pm #
  
  Sepertinya di artikel di atas memang tidak ada pembahasan yang menyamakan π dgn 22/7 ya!
  Yang ada adalah nilai π itu memang segitu, π=3.14159265358979323846 (irrasional).
  Adapun jawaban saya terhadap pertanyaan @Antonio Vico, bahwa dalam penggunaan praktis, untuk perhitungan yang menggunakan π (misalnya dalam perhitungan luas/ keliling daerah lingkaran), nilai yg digunakan biasanya adalah 22/7 atau 3,14.
  Itu saja ^_^
  
  Reply
tatang cobek
February 16, 2012 at 8:23 pm #

kakak g tau malu apa,, materinya sama sperti WEB yg lain….

Reply
- Ani Ismayani
  February 16, 2012 at 9:47 pm #
  
  Sama apanya? dengan yang mana, bisa disebutkan? Semua konten di blog ini, ditulis oleh saya sendiri, jadi kalaupun ada tulisan di blog lain yang sama persis, berarti blog yang lain yg ngutil dari sini ^_^
  
  Reply
Galih
March 20, 2012 at 9:05 pm #

Makasih ya… atas Artikelnya,,,,

Reply
ciwied
August 8, 2012 at 7:40 pm #

sifat tunggal dan tertutup itu pngertianya apa yah?

Reply
- Ani Ismayani
  August 29, 2012 at 4:12 pm #
  
  Sifat tertutup (pada penjumlahan dan perkalian) maksudnya jika dua bilangan real (misalnya bilangan asli dengan bilangan asli) dijumlahkan atau dikalikan, maka hasilnya juga merupakan bilangan asli.
  
  sifat tunggal menunjukkan yang mana ya?
  
  Reply