Bilangan Real

Berbagai Sistem Bilangan

Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

Gambar 1

Pengertian Bilangan Real ()

Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

 

Bilangan-bilangan bulat dan rasional

Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural),

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).

Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga .

Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.

Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari .

Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.

Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:

Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu dan memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu dan (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).

Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!

Bilangan-bilangan real

Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.

Pertanyaan

Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?

Operasi pada Bilangan Real

Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

a) Operasi penjumlahan

clip_image042

Contoh:

1. 4 + 6 = 10

2. 4 + (-6) = -2

3. -4 + 6 = 2

4. -4 + (-6) = -10

b) Operasi pengurangan

Contoh:

1. 6 - 4 = 2

2. 6 - (-4) = 6 + 4 = 10

3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $

c) Operasi perkalian

Contoh:

1. 6.4 = 24

2. 6.(-4) = -24

3. (-6)(-4) = 24

d) Operasi pembagian

Contoh:

 

Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya

a) Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal

Contoh:

 

b) Mengubah Pecahan Desimal ke Persen

Contoh:

clip_image084

clip_image086

c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya

Contoh:

Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!

clip_image088

clip_image090

clip_image092

clip_image094

Menghitung persentase

a) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan

Contoh:

Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?

Jawab:

Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000

clip_image098

clip_image100

clip_image102 Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00

b) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikan

Contoh:

Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?

Jawab:

Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00

clip_image108

clip_image110

clip_image111Jadi, kita harus membayar sebesar:

Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00

c) Laba dan rugi

Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Contoh:

Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00

Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

clip_image117

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

clip_image119

Sifat-sifat Operasi Bilangan Real

Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.

Untuk setiap a,b,c, r \in , beralaku sifat-sifat berikut;

Penjumlahan:

1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

a+b=r

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

a+b=b+a

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

(a+b)+c = a+(b+c)

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

a+0 = 0+a = a

6. Sifat invers pada penjumlahan

a+(-a)=(-a)+a=0

Perkalian:

1. Sifat tertutup pada perkalian

a\ times b = r

2. Sifat komutatif pada perkalian

a\ times b = b\times a

3. Sifat asosiatif pada perkalian

(a\times b) \times c = a\times (b\times c )

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

a\times 1 = 1\times a = a

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

clip_image145

(untuk clip_image147)

clip_image149

(tidak ada/tidak didefinisikan).

Modul ‘Bilangan Real’ yang saya susun berupa file pdf. Anda bisa mengunduhnya di sini.

Catatan:

Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol, karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini

Leave a Reply

  1. thanks yaaa
    artikelnya bagus banget dapat memudahkan saya untuk memahami mata kuliah kalkulus…..

    semangat untuk tulis artikel ok,,,

  2. Saya rasa… dari semua yang tertera di atas, khususnya di bagian awal, tak ada satupun bagian yang mengemukakan definisi bilangan real.

    • Begitu ya ^_^?

      Di bagian awal memang tidak ada definisi secara langsung, tapi sepertinya memiliki prolog yang mengarah ke pengertiannya secara umum. Tapi setelah itu ada rumusan definisinya sbb:

      Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri.

      Ini memang definisi umum utuk level sekolah menengah (SMP) atau mungkin anak SD. Tidak ada tinjauan dari aspek analisis-real nya :).

      Senang blog saya dikunjungi pak dosen. Ditunggu sharing ilmunya di sini kang ^_^

  3. Pingback: Math_Melani

  4. Pingback: Bilangan Real « Acim Mulyana

  5. Thanks ya kakak. aq jd makin semangat belajara di SMP 1 ini. tp kok nilai π nya dii kalkulator cpu nya hasilnya 22/7=3.14285714285714….???

  6. wah artikel yang bagus.untuk nilai π sepertinya salah tulis dalam artikel ini (coba lihat lagi dengan seksama ^.^). saya cuma bilang bahwa π dengan 22/7 sama sekali berbeda.perhatikan bahwa 22/7=3.142857142857142857… (rasional) sedangkan π=3.14159265358979323846…(irrasional).apa yang terjadi klo kita mau mengukur volume bola dengan diameter 1000cm menggunakan π = 22/7?bedanya akan jauh sekali klo kita pakai π=3.14159265358979323846? ^.^

    • Sepertinya di artikel di atas memang tidak ada pembahasan yang menyamakan π dgn 22/7 ya!
      Yang ada adalah nilai π itu memang segitu, π=3.14159265358979323846 (irrasional).
      Adapun jawaban saya terhadap pertanyaan @Antonio Vico, bahwa dalam penggunaan praktis, untuk perhitungan yang menggunakan π (misalnya dalam perhitungan luas/ keliling daerah lingkaran), nilai yg digunakan biasanya adalah 22/7 atau 3,14.
      Itu saja ^_^

    • Sama apanya? dengan yang mana, bisa disebutkan? Semua konten di blog ini, ditulis oleh saya sendiri, jadi kalaupun ada tulisan di blog lain yang sama persis, berarti blog yang lain yg ngutil dari sini ^_^

  7. Pingback: arisihaddotcom